Ce vol. III expose la theorie classique de Cauchy dans un esprit oriente bien davantage vers ses innombrables utilisations que vers une theorie plus ou moins complete des fonctions analytiques. On montre ensuite comment les integrales curvilignes a la Cauchy se generalisent a un nombre quelconque de variables reelles (formes differentielles, formules de type Stokes). Les bases de la theorie des varietes sont ensuite exposees, principalement pour fournir au lecteur le langage "canonique" et quelques theoremes importants (changement de variables dans les integrales, equations differentielles). Un dernier chapitre montre comment on peut utiliser ces theories pour construire la surface de Riemann compacte d'une fonction algebrique, sujet rarement traite dans la litterature non specialisee bien que n'exigeant que des techniques elementaires. Un volume IV exposera, outre,l'integrale de Lebesgue, un bloc de mathematiques specialisees vers lequel convergera tout le contenu des volumes precedents: series et produits infinis de Jacobi, Riemann, Dedekind, fonctions elliptiques, theorie classique des fonctions modulaires et la version moderne utilisant la structure de groupe de Lie de SL(2,R).